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チェバ・メネラウスの定理と三角形の面積比

最終更新: 6月25日

今回は数Aの範囲から、チェバ・メネラウスの定理と三角形の面積比の問題を扱います。

チェバ・メネラウスの定理から確認していきましょう。




 次に線分の比と三角形の面積比の関係を見てみよう。

「高さが同じ長さの場合、底辺の比が面積比」

右図のようなとき、△ABPと△ACPは高さが同じAHである。

              

よって △ABP : △ACP = BP : CP  

となる。




「底辺が同じ長さの場合、高さの比が面積比」

右図のようなとき、

△ABCと△OBCの底辺は共通している。

高さの比はAH : QH = AP : OPであるので

△ABC : △OBC = AP : OP となる。




 

比の問題に苦手意識を感じる人は少なくないと思います。

しかし、実は比を扱う考え方や定理などは意外と少く、ほとんどが図形の相似由来です。

上の2つのほかに挙げるとしたら

①相似な図形の面積比・体積比   ②平行線と線分の比   ③方べきの定理

ぐらいが主に使われます。

どう考えるか迷ったら、上記の方法を片っ端から試していくのも1つの手です。

そうしているうちに何か気づくことがあるはずです。

 図形問題で困ったら知っていることを試していくというのは結構使う方法なので覚えておくといいでしょう。


 それでは問題を解いてみましょう。

〈問題〉

△ABCの内部に点Oがあり、直線AOと辺BCの交点をP、直線BOと辺ACの交点をQ、直線COと辺ABの交点をRとする。

AR : RB = 3 : 2 , AQ : QC = 2 : 3  であるとき、△OAR : △OCQを求めよ。


















〈答え〉

△OAR : △OCQ = 4 : 9



こちらのページでは都合上、解説が書ききれないので詳しい解説はアメブロのほうに載せています。リンクを下に貼っているのでそちらで確認をお願いします。

https://ameblo.jp/okayama-igakukashingaku/entry-12433188158.html

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